24-25-1-概率论与随机过程-期末

一、填空题（每空 4 分，共 40 分）

设 $A,B$ 为两个相独立的随机事件，满足 $P(A)=0.7,\,P(A\bar{B})=0.56$ 则 $P(AB)=$ 。
设 $(\Omega,F,P)$ 为一概率空间， $\{A_n,n=1,2,\dots\}$ 为定义在其上的一随机事序列，满足 $A_1\supset A_2\supset\dots$ ，且 $P(A_n)=\frac13+\frac1{3^n},n=1,2,\cdots$ ，则 $P\left(\bigcap_{n=1}^\infty A_n\right)=$ 。
设随机变量 $X,Y$ 独立同分布，满足 $P\{X=i\}=P\{Y=i\}=\frac13,i=1,2,3$ ，则概率 $P\{X>Y\}=$ 。
设连续型随机变量 $X$ 的概率密度函数为

f_X(x)=\begin{cases} 2x^3\mathrm e^{-x^2},x\ge0\\ 0,x<0 \end{cases}

则 $Y=X^2$ 的概率密度函数 $f_Y(y)=$ 。

设随机变量 $X _ { 1 } , X _ { 2 } , X _ { 3 }$ 独立同分布，服从指数分布 $Exp ( 2 )$ ，则数学期望 $E[\min\{X_1,X_2,X_3\}]=$ 。
设 $X _ { 1 } , X _ { 2 } , \dots$ 是一列独立同分布的随机变量序列，服从均匀分布 $U ( 1 , 2 )$ ，则极限概率 $\lim_{n \to \infty} P(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k^2 \le \frac{1}{2}) =$ 。
设二维正态分布随机变量 $( X , Y ) \sim N ( \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } , \sigma _ { 1 } ^ { 2 } , \sigma _ { 2 } ^ { 2 } , \rho )$ ，其中方差 $\sigma _ { \scriptscriptstyle 1 } > 0 , \sigma _ { \scriptscriptstyle 2 } > 0$ 如果均值 $\mu _ { 1 } = \mu _ { 2 }$ ，则概率 $P \{ X - Y > 0 \} =$ 。
设 $W ( t ) , t \geq 0$ 是参数为 $\sigma ^ { 2 } ( \sigma > 0 )$ 的维纳过程,令 $Z ( t ) = a W ( { \frac { t } { a ^ { 2 } } } ) , a > 0$ ，则 $Z ( t )$ 的自相关函数 $R _ { Z } \left( t _1 , t _2 \right) =$ 。
设平稳过程 $X ( t )$ 的自相关函数为 $R _ { X } ( \tau ) = 2 e ^ { - 4 | \tau | }$ ，则过程 $X ( t )$ 的平均功率 $Q=$ 。

10．设某一事件的发生过程是一参数为 $\lambda = 3$ 的泊松过程，设为 $N ( t ) , t \geq 0$ 。如果每个发生的事件被记录的概率为 $\frac 1 3$ 并令 $N _ { 1 } ( t )$ 为 $( 0 , t ]$ 内被记录的事件数，则概率 $P \{ N _ { 1 } ( t ) = 2 \} =$ 。

二、（10分）

设二维随机变量 $( X , Y )$ 的概率密度为

f ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { c c } { c x , } & { 0 < x < y < 1 , } \\ { 0 , } & { \text{其它}. } \end{array} \right.

其中 $c$ 是待定系数。求

常数 $c$ ；

答案 / 解析

因为 $\int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( x , y ) d x d y = \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int _ { x } ^ { 1 } c x d y = 1$ ，得 $c = 6$

$X$ 的边缘概率密度 $f _ { X } ( x )$

答案 / 解析

$f _ { X } ( x ) = \int _ { x } ^ { 1 } f ( x , y ) d y = \int _ { x } ^ { 1 } 6 x d y = 6 x ( 1 - x )$ ，所以 $f _ { \scriptscriptstyle X } ( x ) = \left\{ \begin{array} { c c } { 6 x ( 1 - x ) , } & { x \in ( 0 , 1 ) , } \\ { 0 } & { \text{其它} . } \end{array} \right.$

当 $X = \frac { 1 } { 3 }$ 时， $Y$ 的条件概率密度 $f _ { { Y | X } } ( y | \frac { 1 } { 3 } )$

答案 / 解析

当 $X = \frac { 1 } { 3 }$ 时， $Y$ 的条件概率密度 $f_{Y|X} \left( y \mid \frac{1}{3} \right) = \left\{ \begin{array}{ll} \left. \frac{f(x,y)}{f_X(x)} \right|_{x=\frac{1}{3}} = \frac{3}{2}, & \frac{1}{3} < y < 1 \\ 0, & \text{其它} \end{array} \right.$

概率 $P \{ X + Y \leq 1 \}$ 。

答案 / 解析

$P \{ X + Y \leq 1 \} = \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } d x \int _ { x } ^ { 1 - x } 6 x d y = { \frac { 1 } { 4 } }$

三、（10分）

设 $X ( t ) , Y ( t ) , t \geq 0$ 是两个平稳过程，定义 $Z ( t ) = X ( t ) + Y ( t )$ 。

若 $X ( t ) , Y ( t )$ 相互独立，讨论 $Z ( t )$ 的平稳性；

答案 / 解析

$X ( t ) , Y ( t )$ 是平稳过程，所以对于任意的 $t , t + \tau \geq 0$ ， $E X ( t ) = \mu _ { X }$ (常数), $E Y ( t ) = \mu _ { Y }$ (常数),

E [ X ( t ) X ( t + \tau ) ] = R _ { X } ( \tau ) , E [ Y ( t ) Y ( t + \tau ) ] = R _ { Y } ( \tau )

相互独立时 $E Z ( t ) = E ( X ( t ) + Y ( t ) ) = \mu _ { { X } } + \mu _ { { Y } }$ ，

\begin{align*} & R _ { z } ( t , t + \tau ) = E [ Z ( t ) Z ( t + \tau ) ] = E [ ( X ( t ) + Y ( t ) ) ( X ( t + \tau ) + Y ( t + \tau ) ) ] \\ & \qquad = R _ { { X } } ( \tau ) + R _ { { Y } } ( \tau ) + 2 \mu _ { { X } } \mu _ { { Y } } \end{align*}

与 $t$ 无关，故 $Z(t)$ 是平稳过程。

若 $X ( t ) , Y ( t )$ 平稳相关，讨论 $Z ( t )$ 的平稳性。

答案 / 解析

平稳相关时由（1）和

\begin{align*} & R _ { z } ( t , t + \tau ) = E [ Z ( t ) Z ( t + \tau ) ] = E [ ( X ( t ) + Y ( t ) ) ( X ( t + \tau ) + Y ( t + \tau ) ) ] \\ & = R _ { X } ( \tau ) + R _ { Y } ( \tau ) + R _ { X Y } ( \tau ) + R _ { Y X } ( \tau ) \end{align*}

由于 $X(t), Y(t)$ 平稳相关， $R_{XY}(\tau), R_{YX}(\tau)$ 也仅为 $\tau$ 的函数，故 $Z(t)$ 是平稳过程。

四、（10分）

设随机过程 $Z ( t ) = A + t B + t ^ { 2 } C , t \geq 0$ ，其中 $A , B , C$ 独立同分布于正态分布 $N ( 0 , \sigma ^ { 2 } ) , \sigma > 0$ ，

证明 $Z ( t )$ 是高斯过程，

答案 / 解析

要证明 $Z ( t )$ 为高斯过程，只要证明 $Z ( t )$ 的任意有限个随机变量的任意线性组合是一个一维正态分布随机变量。实际上，对任意的实数 $0 \le t _ { 1 } \le t _ { 2 } \le \dots \le t _ { n } , a _ { 1 } , \dots , a _ { n }$ ， $\sum _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i } Z ( t _ { i } ) = (\sum_{i=1}^n a_i) A + (\sum_{i=1}^n a_i t_i) B + (\sum_{i=1}^n a_i t_i^2) C$ 为相互独立的正态分布随机变量的线性组合，因而是正态分布随机变量。

若 $\sigma = 1$ ，求概率 $P \{ Z ( t ) ^ { 2 } \leq 1 + t ^ { 2 } + t ^ { 4 } \}$ 。 (已知 $\Phi ( 1 ) = 0 . 8 4 1 3 .$ ）

答案 / 解析

由于 $A, B, C \sim N(0,1)$ 独立，故 $Z(t) \sim N(0, 1+t^2+t^4)$ 。

f ( x ; t ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi ( 1 + t ^ { 2 } + t ^ { 4 } ) \sigma ^ { 2 } } } e ^ { \frac { x ^ { 2 } } { 2 ( ( 1 + t ^ { 2 } + t ^ { 4 } ) \sigma ^ { 2 } ) } }

\begin{align*} & P \{ Z ( t ) ^ { 2 } \leq 1 + t ^ { 2 } + t ^ { 4 } \} = P \{ \displaystyle \frac { Z ( t ) ^ { 2 } } { 1 + t ^ { 2 } + t ^ { 4 } } \leq 1 \} = P \{ | \displaystyle \frac { Z ( t ) } { \sqrt { 1 + t ^ { 2 } + t ^ { 4 } } } | \leq 1 \} \\ & = \Phi ( 1 ) - \Phi ( - 1 ) = 2 \Phi ( 1 ) - 1 = 0 . 6 8 2 6 \end{align*}

五、（10分）

已知齐次马氏链 $\{ X _ { n } , n \geq 0 \}$ ，状态空间为 $I = \{ 1 , 2 , 3 \}$ ，一步转移概率矩阵为

P = \begin{pmatrix} \frac { 1 } { 2 } & \frac { 1 } { 2 } & 0 \\ \frac { 1 } { 2 } & 0 & \frac { 1 } { 2 } \\ 0 & \frac { 1 } { 2 } & \frac { 1 } { 2 } \end{pmatrix}

初始分布为 $P ( X _ { 0 } = i ) = \frac { 1 } { 3 } , i = 1 , 2 , 3$ 。求

$X _ { 2 }$ 的分布律；

答案 / 解析

$P ^ { ( 2 ) } = P ^ { 2 } = { \begin{pmatrix} { \frac { 1 } { 2 } } & { \frac { 1 } { 4 } } & { \frac { 1 } { 4 } } \\ { \frac { 1 } { 4 } } & { \frac { 1 } { 2 } } & { \frac { 1 } { 4 } } \\ { \frac { 1 } { 4 } } & { \frac { 1 } { 4 } } & { \frac { 1 } { 2 } } \end{pmatrix} }$

$q^{(2)} = q(0) P^{2} = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) P^{2} = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

$P \{ X _ { 0 } = 1 , X _ { 2 } = 2 \}$ ；

答案 / 解析

$P \{ X _ { 0 } = 1 , X _ { 2 } = 2 \} = q _ { 1 } ( 0 ) \cdot p _ { 1 2 } ( 2 ) = \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 1 } { 4 } = \frac { 1 } { 12 }$ 。

$P \{ X _ { 3 } = 2 \vert X _ { 1 } = 1 \}$ .

答案 / 解析

$P \{ X _ { 3 } = 2 \mid X _ { 1 } = 1 \} = p _ { 1 2 } ( 2 ) = \frac { 1 } { 4 }$ 。

六、（20分）

设离散时间马氏链 $\{ X _ { n } , n = 0 , 1 , \ldots \}$ 的状态空间 $E = \{ 1 , 2 , \ldots \}$ ，一步转移概率矩阵为

P = \begin{pmatrix} 0 & \frac { 1 } { 2 } & 0 & \frac { 1 } { 2 } & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac { 1 } { 2 } & 0 & 0 & \frac { 1 } { 2 } & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac { 1 } { 5 } & \frac { 1 } { 5 } & \frac { 1 } { 5 } & \frac { 1 } { 5 } & \frac { 1 } { 5 } & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac { 1 } { 2 } & \frac { 1 } { 2 } & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac { 1 } { 2 } & \frac { 1 } { 2 } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac { 1 } { 2 } & \frac { 1 } { 2 } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac { 1 } { 2 } & \frac { 1 } { 2 } \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac { 1 } { 2 } \end{pmatrix}

马氏链是否可分，若可分，给出空间分解表示；

答案 / 解析

可分， $E = \{ 1 , 2 , 4 \} \cup \{ 5 \} \cup \{ 3 , 6 , 7 , \ldots \}$

各状态的周期；

答案 / 解析

$d ( i ) = 1 , i = 1 , 2 , \ldots$

计算平稳分布，讨论该链的状态分类。

答案 / 解析

设平稳分布为 $\pi = ( \pi _ { 1 } , \pi _ { 2 } , \ldots )$ 考虑方程: $\left\{ \begin{array} { l } { \pi = \pi P , } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \pi _ { i } = 1 , } \\ { \pi _ { i } \geq 0 , i = 1 , 2 , \ldots } \end{array} \right.$ 得 $\pi = ( p , p , 0 , p , q , 0 , 0 , \ldots ) , 3 p + q = 1 , p \geq 0 , q \geq 0 .$ 所以 $1 , 2 , 4 , 5$ 正常返,由于 $f _ { i i } < 1 , i = 3 , 6 , 7 , \ldots$ ,所以 $3 , 6 , 7 , \ldots$ 非常返.