25-26-2-概率论与随机过程-期末（A卷）

一、填空题（每题 4 分，共 40 分）

设 $A, B, C$ 为三个随机事件，且已知 $P(A) = P(B) = 0.3$ , $P(C) = 0.5$ , $P(A|B) = 0$ , $P(A|C) = P(B|C) = 0.2$ ，则 $P(A \cup B \cup C) =$ 【暂无答案】。
进行独立重复试验，设每次成功的概率为 $p,\ p > 0$ ，将试验进行到出现 $i$ 次成功为止，以 $X_i$ 表示出现第 $i$ 次成功所需的试验次数， $i = 1, 2$ ，则条件概率 $P\{X_1 = 10|X_2 = 12\} =$ 【暂无答案】。
某地区每年发生地震的次数 $N$ 服从泊松分布，每年发生 8 次地震的概率是发生 10 次地震概率的 2.5 倍，则 $P\{N=2\} =$ 【暂无答案】。
设 $X_i$ 服从二项分布 $B(1, \frac{i}{10})$ ， $i = 1, 2, 3$ ，且 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立，则方差 $D(\sum_{i=1}^3 X_i) =$ 【暂无答案】。
设二维正态随机变量 $(X, Y) \sim N(0, 0, 1, 1, -0.6)$ ，则概率 $P\{X + Y < 0\} =$ 【暂无答案】。（请用标准正态分布的分布函数 $\Phi(x),\ x \geq 0$ 表示）
设二维随机向量 $(X, Y)$ 的分布函数为 $F(x, y)$ ，则 $Z = \max\{X, Y\}$ 的分布函数 $F_Z(z) =$ 【暂无答案】。（请用分布函数 $F$ 表示）
设随机变量 $X$ 服从标准正态分布，定义随机变量 $Y = F(X)$ ，其中函数 $F(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} dt,\ -\infty < x < +\infty$ ，随机变量 $Y$ 的密度函数 $f_Y(y) =$ 【暂无答案】。
设 $X_1, X_2, \dots, X_{96}$ 独立同分布，且其概率密度函数 $f(x) = \begin{cases} 1 - |x|, & -1 < x < 1, \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$ ，利用中心极限定理求 $P\{\sum_{k=1}^{96} X_k > 2\} \approx$ 【暂无答案】。（请用标准正态分布的分布函数 $\Phi(x),\ x \geq 0$ 表示）
设 $\{N(t), t \geq 0\}$ 是参数为 $\lambda > 0$ 的泊松过程，则 $P\{N(1) = 1, N(2) = 2, N(3) = 3\} =$ 【暂无答案】。
设 $\{W(t), t \geq 0\}$ 是参数为 $\sigma^2$ 的维纳过程，令 $X(t) = W(t) + t$ ，则自相关函数 $R_X(s, t) =$ 【暂无答案】。

二、（15 分）

设 $X$ 与 $Y$ 相互独立，它们的概率密度函数分别是

f_X(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x > 0, \\ 0, & \text{其他} \end{cases}, \quad f_Y(y) = \begin{cases} \mu e^{-\mu y}, & y > 0, \\ 0, & \text{其他} \end{cases}

其中 $\lambda > 0,\ \mu > 0$ 是常数，

令 $Z = \begin{cases} 1, & 2X \leq Y, \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$ 。

求 $Z$ 的分布律；
求 $Z$ 的分布函数；
求 $U = X + Y$ 的概率密度函数。

三、（10 分）

设二维随机变量 $(X, Y)$ 在以 $(0,0), (0,1), (1,0)$ 为顶点的三角形区域上服从均匀分布（如右图）,

求边缘概率密度 $f_X(x)$ ；
求条件概率密度 $f_{Y|X}(y|x)$ ；
求相关系数 $\rho_{XY}$ 。

四、（15 分）

设齐次马氏链 $\{X_n, n \geq 0\}$ 的状态空间为 $E = \{1,2,3,4\}$ ，一步转移概率矩阵为

P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix},

初始分布为 $P\{X_0 = 1\} = P\{X_0 = 2\} = P\{X_0 = 3\} = \frac{1}{5}$ , $P\{X_0 = 4\} = \frac{2}{5}$ ，求

$P\{X_2 = 1\}$ ；
$P\{X_2 = 1, X_4 = 2, X_5 = 2|X_1 = 4\}$ ；
$E[X_1]$ ；
判断该齐次马氏链是否具有遍历性，并给出判断依据。

五、（12 分）

设 $\{X(t), t \geq 0\}$ 为随机过程， $X(t) = Y \cos t + Z \sin t$ ，其中随机变量 $Y, Z$ 相互独立，且均服从标准正态分布。

证明 $X(t)$ 是一个平稳过程；
求 $X(t)$ 的平均功率；
求功率谱密度 $S_X(\omega)$ 。

六、（8 分）

设 $\{X(t), t \in (-\infty, +\infty)\}$ 为平稳随机过程，其自相关函数为 $R_X(\tau)$ ，请用切比雪夫不等式证明

P(|X(t + \tau) - X(t)| \geq \varepsilon) \leq \frac{2}{\varepsilon^2} [R_X(0) - R_X(\tau)], \quad \varepsilon > 0

为常数。