25-26-2-量子力学-期末（B卷）

一、填空题：（每空1分，共20分）

  1. 量子力学中用【暂无答案】函数描写微观体系的状态，该函数满足的标准条件包括【暂无答案】、【暂无答案】和【暂无答案】。
  2. 在定态中，概率流密度与【暂无答案】无关。
  3. 当系统处于本征态时，对系统进行测量所能得到的确定值就是系统的【暂无答案】。
  4. 对于一般的情况，如果ψ1\psi_1和ψ2\psi_2是体系的可能状态，那么，它们的线性叠加ψ=c1ψ1+c2ψ2\psi = c_1\psi_1 + c_2\psi_2（c1c_1，c2c_2是复数）也是这个体系的一个可能状态，这就是量子力学中的【暂无答案】原理。
  5. 黑体辐射的问题是【暂无答案】引进量子概念后得到解决。
  6. 自旋角动量满足的对易关系是：S⃗^×S⃗^=\hat{\vec{S}} \times \hat{\vec{S}} =【暂无答案】S⃗^\hat{\vec{S}}
  7. 厄米算符的平均值必为【暂无答案】。
  8. 根据【暂无答案】原理，当一个全同粒子体系中两个粒子交换不改变体系的【暂无答案】。
  9. 德布罗意公式说明了微观粒子同时具有【暂无答案】和【暂无答案】。
  10. 斯塔克效应是指原子所发射的【暂无答案】谱线会发生分裂现象，这个现象与原子受到【暂无答案】作用相关。应用简并情况下的【暂无答案】能对氢原子的斯塔克效应进行解释。
  11. 算符在其自身表象中的矩阵是一个【暂无答案】矩阵，该矩阵的主对角线元素就是该算符的【暂无答案】。
  12. 么正变换不改变厄密矩阵的【暂无答案】性。

二、判断选择题：（每空1分，共10分）

  1. 光电效应实验表明，光电子能量仅与光的(1)有关，且成线性关系，与光的(2)无关，它只影响光电子数目。
第 1 题
第 2 题
  1. 戴维孙和革末做了电子衍射实验( )德布罗意假说。
  1. 坐标算符和动量算符的对易关系在么正变换下( )。
  1. 不同力学量同时可测定的条件是力学量算符彼此( )。
  1. 在动量表象中，粒子具有确定动量 p′p' 的波函数是以动量 pp 为变量的( )函数。
  1. 么正矩阵(1)厄密矩阵，因为么正矩阵满足的条件是 S†=S^\dagger = (2)。
第 1 题
第 2 题
  1. ⟨ψ∣ϕ⟩=0\langle \psi | \phi \rangle = 0 称为 ∣ψ⟩|\psi\rangle 与 ∣ϕ⟩|\phi\rangle(1)；本征函数 ∣n⟩|n\rangle 的封闭性表示为(2)。
第 1 题
第 2 题

三、简答题：（1-2小题每题6分，3小题8分，共20分）

1、

假设高能态为 Φm\Phi_m 态，对应的粒子数为 NmN_m；低能态为 Φk\Phi_k 态，对应的粒子数为 NkN_k，写出应用受激发射现象实现的两个器件名称，简述什么是粒子数反转。

2、

设某原子体系分立能谱的能级由小到大排列：ε1<ε2<⋯<εk<⋯<εm<⋯\varepsilon_1 < \varepsilon_2 < \cdots < \varepsilon_k < \cdots < \varepsilon_m < \cdots，为了描述原子在 εm\varepsilon_m 和 εk\varepsilon_k 两能级间的跃迁概率，爱因斯坦引入了三个系数：自发发射系数 AmkA_{mk}、受激发射系数 BmkB_{mk}、受激吸收系数 BkmB_{km}，简述这三个系数及它们的意义。（设作用于原子的光波在 ω→ω+dω\omega \to \omega + \mathrm{d}\omega 频率范围内的能量密度是 I(ω)dωI(\omega)\mathrm{d}\omega）

3、

简述自然界的两类微观粒子，它们的自旋、体系波函数的特点以及它们所服从的统计分布。

四、证明题：（1-3小题每题5分，共15分）

1、

已知 [σ^x,σ^y]=2iσ^z[\hat{\sigma}_x, \hat{\sigma}_y] = 2i\hat{\sigma}_z，σ^xσ^y+σ^yσ^x=0\hat{\sigma}_x\hat{\sigma}_y + \hat{\sigma}_y\hat{\sigma}_x = 0，证明：σ^x=σ^y=σ^z=i\hat{\sigma}_x = \hat{\sigma}_y = \hat{\sigma}_z = i。

2、

在自旋态 χ12(Sz)\chi_{\frac{1}{2}}(S_z) 中，利用测不准关系证明 (ΔSx)2(ΔSy)2‾≥ℏ416\overline{(\Delta S_x)^2(\Delta S_y)^2} \ge \frac{\hbar^4}{16}。

3、

证明么正变换不改变算符的本征值。

五、计算题：（15分）

设一维无限深方势阱宽度为 aa，即势能在区域 (0≤x≤a)(0 \le x \le a) 为零，在该区域外为无限大。

  1. 求粒子的能级和对应的波函数。
  2. 若 t=0t=0 时，粒子处于 ψ(x,0)=12ϕ1(x)+13ϕ2(x)+12ϕ3(x)\psi(x,0) = \sqrt{\frac{1}{2}}\phi_1(x) + \sqrt{\frac{1}{3}}\phi_2(x) + \frac{1}{2}\phi_3(x) 状态上，其中，ϕn(x)\phi_n(x) 为粒子的第 nn 个本征态，求 t=0t=0 时能量的可测量值与相应的取值几率。

六、计算题：（10分）

任意态 ψ=23Y3,1(θ,ϕ)+13Y2,1(θ,ϕ)−13Y1,−1(θ,ϕ)\psi = \frac{2}{3}Y_{3,1}(\theta, \phi) + \frac{1}{3}Y_{2,1}(\theta, \phi) - \frac{1}{3}Y_{1,-1}(\theta, \phi)，求 ψ\psi 态中 L^2\hat{L}^2 的可能值、出现几率及期望值。

七、计算题：（10分）

在哈密顿算符自身表象中，设受微扰后的哈密顿算符矩阵形式为：H=(1a0a2000a−3)H = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ a & 2 & 0 \\ 0 & 0 & a-3 \end{pmatrix}，设 a≪1a \ll 1，

  1. 写出未受微扰 H^0\hat{H}_0 矩阵形式、微扰 H^′\hat{H}' 矩阵形式；
  2. 用微扰理论求能量至二级修正值。